Законы радиоактивного распада ядер

    Способность ядер самопроизвольно распадаться, испуская частицы, называется радиоактивностью. Радиоактивный распад  - статистический процесс. Каждое радиоактивное ядро может распасться в любой момент и закономерность наблюдается только в среднем, в случае распада достаточно большого количества ядер.
Постоянная распада λ - вероятность распада ядра в единицу времени.
    Если в образце в момент времени t имеется N радиоактивных ядер, то количество ядер dN, распавшихся за время dt пропорционально N.

dN = -λNdt. (1)

Проинтегрировав (1) получим закон радиоактивного распада

N(t) = N0e-λt. (2)

N0 - количество радиоактивных ядер в момент времени t = 0.
Cреднее время жизни τ -

. (3)

Период полураспада T1/2 - время, за которое первоначальное количество радиоактивных ядер уменьшится в два раза

T1/2 = ln2/λ=0.693/λ = τln2. (4)

Активность A - среднее количество ядер распадающихся в единицу времени

A(t) = λN(t). (5)

Активность измеряется в кюри (Ки) и беккерелях (Бк)

1 Ки = 3.7·1010 распадов/c,
1 Бк = 1 распад/c.

Распад исходного ядра 1 в ядро 2, с последующим его распадом в ядро 3, описывается системой дифференциальных уравнений

dN1/dt = -λ1N1
dN2/dt = -λ2N1N1,
(6)

где N1(t) и N2(t) -количество ядер, а λ1 иλ2 - постоянные распада ядер 1 и 2 соответственно. Решением системы (6) с начальными условиями N1(0) = N10; N2(0) = 0 будет

, (7a)
. (7б)

Количество ядер 2 достигает максимального значения при .

Если λ2 < λ1 (>), суммарная активность N1(t)λ1 + N2(t)λ2 будет монотонно уменьшаться.
Если λ21 (<), суммарная активность вначале растет за счет накопления ядер 2.
Если λ2 >>λ1, при достаточно больших временах  вклад второй экспоненты в (7б) становится пренебрежимо мал, по сравнению со вкладом первой и  активности второго A2 = λ2N2 и первого изотопов A1 = λ1N1 практически сравняются. В дальнейшем активности как первого так и второго изотопов будут изменяться во времени одинаково.

A1(t) = N10λ1= N1(t)λ1 = A2(t) = N2(t)λ2. (8)

  То есть устанавливается так называемое вековое равновесие, при котором число ядер изотопов в цепочке распадов связано с постоянными распада (периодами полураспада) простым соотношением.

(9)

Поэтому в естественном состоянии все изотопы, генетически связанные в радиоактивных рядах, обычно находятся в определенных количественных соотношениях, зависящих от их периодов полураспада.
    В общем случае, когда имеется цепочка распадов 1→2→...n, процесс описывается системой дифференциальных уравнений

dNi/dt = -λiNi-1Ni-1. (10)

Решением системы (10) для активностей с начальными условиями N1(0) = N10; Ni(0) = 0 будет

(11)

где

(12)

Штрих означает, что в произведении, которое находится в знаменателе, опускается множитель с i = m.


15.11.2013

Ядерная физика в Интернете
Содержание

TopList