6.8. Бесконечно малые

    Определение 9. Функция (x), x X, называется бесконечно малой при xx₀, если (x) = 0.
    Бесконечно малые функции играют в теории пределов функций роль, аналогичную той, которую играют бесконечно малые последовательности в теории пределов последовательностей (п. 5.5).

    Лемма 3. Для того чтобы у функции f(x), x X, существовал в точке x₀ конечный предел, равный a, необходимо и достаточно, чтобы функция (x) = f(x) - a была бесконечно малой при xx₀.
Действительно, существование конечного предела (x) = a равносильно тому, что (см. п.6.4) для любого > 0 существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, что для всех x X U(x₀) выполняется неравенство | f(x) - a| < , т. е. |(x)| < , что и означает бесконечную малость функции (x) при xx₀. 

    Теорема 3. Линейная комбинация конечного числа бесконечно малых при xx₀ функций является бесконечно малой при xx₀ функцией.
    Произведение бесконечно малой при xx₀ функции на ограниченную функцию является бесконечно малой при xx₀ функцией.
    Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых при xx₀ функций является бесконечно малой при xx₀ функцией.
Первое утверждение теоремы сразу следует из свойства предела линейной комбинации функций (см. (6.17)). Докажем второе: пусть

а функция f ограничена на множестве X, т. е. существует такая постоянная c > 0, что для всех x X выполняется неравенство

Тогда для произвольной последовательности x_nx₀, x_n X, n = 1, 2, ..., последовательность {(x_n)}   будет в силу условия (6.20) бесконечно малой, а последовательность { f(x_n)} в силу условия (6.21) - ограниченной. Поэтому (см. п.5.5) их произведение является бесконечно малой последовательностью, т. е.
f(x_n)(x_n) = 0. Поскольку {x_n} - произвольная последовательность такая, что x_nx₀, x_n X, n = 1, 2, ..., то это означает, что

f(x)(x) = 0.

Для доказательства следствия из теоремы достаточно заметить, что всякая бесконечно малая при xx₀ функция, имея в точке x₀ конечный предел, ограничена в некоторой окрестности этой точки. Поэтому в некоторой окрестности точки x₀ произведение конечного числа бесконечно малых при xx₀ функций можно рассматривать как произведение бесконечно малой при xx₀ функции на ограниченную. 

Свойства пределов функций  Оглавление  Непрерывные функции