Как известно, сумма, разность и
произведение бесконечно малых являются
бесконечно малыми. Частное же бесконечно малых
может быть и не бесконечно малой, однако
отношение бесконечно малых позволяет сравнивать
их "по порядку убывания". Аналогично можно
сравнивать "по порядку роста" бесконечно
большие. Перейдем к точным определениям.
Пусть функции f и g заданы на
множестве X и x0 - конечная или
бесконечная удаленная точка прикосновения этого
множества. При этом возможны случаи, когда x0
X и когда x0
X.
Будем предполагать, что существуют
такие окрестность U = U(x0)
точки x0 и функция , заданная на
X U, что
для всех x X
U выполняется
равенство
f(x) = (x)g(x). |
(9.18) |
В частности, если функции f и g
заданы в точке x0, то и функция задана в этой точке, а
если f и g не заданы в ней, то не задана в
ней и функция .
Определение 1. Функция f
называется функцией ограниченной относительно
функции g в окрестности точки x0,
если функция
ограниченна.
В этом случае существует такая
постоянная c > 0, что для всех x X U выполняется неравенство
|(x)| < c, |
(9.19) |
а следовательно, и неравенство
| f(x)| |
< |
c|g(x)|. |
(9.20) |
(9.18) |
Условие (9.20) равносильно условиям (9.18) и (9.19). Действительно, если выполняется условие (9.20), то при
выполняются условия (9.18) и (9.19). Если функция f ограничена относительно функции g в окрестности точки x0, то пишут
f = O(g), xx0 |
(9.21) |
(читается: f есть "O большое" от g).
Определение 2. Функция f называется функцией того же порядка при xx0, что и функция g, если существуют такие постоянные c1 > 0 и c2 > 0, что для всех x X U выполняется неравенство
c1 < |(x)| < c2. |
(9.22) |
В этом случае для всех x X U выполняется неравенство
c1|g(x)| < | f(x)| < c2|g(x)|. |
(9.23) |
Если функция f того же порядка
при xx0, что и
функция g, то пишут fg, xx0.
Очевидно, что функция f того же
порядка при xx0, что
и функция g, тогда и только тогда, когда f =O(g)
и g =O( f), xx0.
Определение 3. Функция f
называется бесконечно малой относительно
функции g при xx0,
если функция
бесконечно малая при xx0,
т. е. если
(x) = 0. |
(9.24) |
В этом случае пишут
f =o(g). |
(9.25) |
(читается: f есть "o малое" от g при xx0).
Определение 4. Функция f
называется эквивалентной функции g
(или асимптотически равной ей) при
xx0, если
(x) = 1. |
(9.26) |
В этом случае пишут
f ~ g, xx0.
Замечание 1. Если x0
X, то, как
известно (см. п. 6.2), из
существования предела (x) следует, что
(x) = (x0). Поэтому в
случае (9.24) имеем (x0)
= 0, а в случае (9.26) - (x0)
= 1.
Если f =o(g), xx0 и g(x) = 0, то функция f
называется бесконечно малой более высокого
порядка, чем бесконечно малая g. В
случае f =o(gn), xx0, бесконечно малую f
называют бесконечно малой порядка n
относительно бесконечно малой g.
Замечание 2. Если в условиях
определений 3 или 4 функция g не обращается в
нуль на множестве
x X U и x0 X, то условие (9.24)
можно записать в виде
[f(x)/g(x)] = 0, |
(9.27) |
а условие (9.26) - в виде
[f(x)/g(x)] = 1. |
(9.28) |
Замечание 3. Если x0 X, и существует конечный предел
[f(x)/g(x)] = k, |
(9.29) |
то функция f(x)/g(x) ограничена на пересечении некоторой окрестности U(x0) точки x0 с множеством X (см. свойство 1o пределов функций в п. 6.7), т. е. существует такая постоянная c > 0, что для всех x X U выполняется неравенство | f(x)/g(x)| < c, т. е.
| f(x)| < c|g(x)|,
откуда следует, что при выполнении условия (9.29) имеет место соотношение
f(x) = O(g(x)), xx0.
Замечание 4. В определениях
1-4 функции f и g могут быть
последовательностями f = {xn},
g = {yn}, и, таким образом,
указанные определения содержат в себе
определения следующих понятий:
а) последовательности, ограниченной
относительно другой последовательности: xn = O( yn),
n
б) последовательностей одного порядка:
xn ~ yn, n;
в) асимптотически равных
последовательностей: xn yn, n;
г) последовательности, бесконечно
малой по сравнению с другой последовательностью:
xn = o( yn), n.
Примеры. 1. sin 2x = O(x),
x0, ибо
|sin 2x| < |2x|. |
(9.30) |
Верно и соотношение x = O(sin 2x), x0, ибо существует конечный предел (x/sin 2x) = 1/2, и, следовательно, функция x/sin 2x ограничена в некоторой окрестности U(0) точки x = 0 (см. свойство 1o пределов функций в п. 6.7). Иначе говоря, существует такая постоянная c > 0, что для всех x U(0) выполняется неравенство |x/sin 2x| < c, x0, поэтому
|x| < c|sin 2x|, x U(0). |
(9.31) |
Из (9.30) и (9.31) следует, что при x0 функции y = x и y = sin 2x одного порядка:
sin 2xx, x0.
2. x3 = o(x2),
x0, ибо x3 = x2x и x = 0.
3. x2 = o(x3),
x, ибо x2 = (1/x)x и (1/x) = 0.
4. Поскольку [(sin x)/x],
то функции y = x и y = sin x
эквивалентны при x0:
sin x ~ x, x0.
Замечание 5. Символы O(g) и o(g) по существу обозначают целые классы функций, обладающих по сравнению с данной функцией определенным свойством, поэтому равенства типа f(x) = O(g(x)) и f(x) = o(g(x)), xx0, следует читать только слева направо, например, x2 = o(x), x0. Здесь верно то, что функция y = x2 является при x0 бесконечно малой по сравнению с функцией y = x, но не всякая функция, бесконечно малая по сравнению с функцией y = x, является функцией y = x2. Равенства с символами O и o не обладают и рядом других свойств равенств, например, свойством транзитивности:
x2 = o(x), x3 = o(x), x0,
но x2 x3.