9.2. Сравнение функций в окрестности заданной точки

    Как известно, сумма, разность и произведение бесконечно малых являются бесконечно малыми. Частное же бесконечно малых может быть и не бесконечно малой, однако отношение бесконечно малых позволяет сравнивать их "по порядку убывания". Аналогично можно сравнивать "по порядку роста" бесконечно большие. Перейдем к точным определениям.
    Пусть функции f и g заданы на множестве X и x0 - конечная или бесконечная удаленная точка прикосновения этого множества. При этом возможны случаи, когда x0 принадлежит X и когда x0 не включает X.
    Будем предполагать, что существуют такие окрестность U = U(x0) точки x0 и функция fi, заданная на
X объединение U, что для всех x принадлежит X объединение U выполняется равенство

 f(x) = fi(x)g(x).

(9.18)

    В частности, если функции f и g заданы в точке x0, то и функция fi задана в этой точке, а если f и g не заданы в ней, то не задана в ней и функция fi.
    Определение 1. Функция f называется функцией ограниченной относительно функции g в окрестности точки x0, если функция fi ограниченна.
    В этом случае существует такая постоянная c > 0, что для всех x принадлежит X объединение U выполняется неравенство

|fi(x)| < c,

(9.19)

а следовательно, и неравенство

f(x)|

<

c|g(x)|.

(9.20)

(9.18)
(9.19)

Условие (9.20) равносильно условиям (9.18) и (9.19). Действительно, если выполняется условие (9.20), то при

выполняются условия (9.18) и (9.19). Если функция f ограничена относительно функции g в окрестности точки x0, то пишут

f = O(g),   xx0

(9.21)

(читается: f есть "O большое" от g).

    Определение 2. Функция f называется функцией того же порядка при xx0, что и функция g, если существуют такие постоянные c1 > 0 и c2 > 0, что для всех x принадлежит X объединение U выполняется неравенство

c1  < |fi(x)| < c2.

(9.22)

    В этом случае для всех x принадлежит X объединение U выполняется неравенство

c1|g(x)|  <f(x)| < c2|g(x)|.

(9.23)

    Если функция f того же порядка при xx0, что и функция g, то пишут fg, xx0.
    Очевидно, что функция f того же порядка при xx0, что и функция g, тогда и только тогда, когда  f =O(g) и g =O( f), xx0.
    Определение 3. Функция f называется бесконечно малой относительно функции g при xx0, если функция fi бесконечно малая при xx0, т. е. если

fi(x) = 0.

(9.24)

В этом случае пишут

f =o(g).

(9.25)

(читается: f есть "o малое" от g при xx0).

    Определение 4. Функция f называется эквивалентной функции g (или асимптотически равной ей) при
xx0, если

fi(x) = 1.

(9.26)

В этом случае пишут

f ~ g,   xx0.

    Замечание 1. Если x0 принадлежит X, то, как известно (см. п. 6.2), из существования предела fi(x) следует, что
fi(x) = fi(x0). Поэтому в случае (9.24) имеем fi(x0) = 0, а в случае (9.26) - fi(x0) = 1.
    Если f =o(g), xx0 и g(x) = 0, то функция f называется бесконечно малой более высокого порядка, чем бесконечно малая g. В случае  f =o(gn), xx0, бесконечно малую f называют бесконечно малой порядка n относительно бесконечно малой g.
    Замечание 2. Если в условиях определений 3 или 4 функция g не обращается в нуль на множестве
x принадлежит X объединение U и x0 не включает X, то условие (9.24) можно записать в виде

[f(x)/g(x)] = 0,

(9.27)

а условие (9.26) - в виде

[f(x)/g(x)] = 1.

(9.28)

    Замечание 3. Если x0 не включает X, и существует конечный предел

[f(x)/g(x)] = k,

(9.29)

то функция  f(x)/g(x) ограничена на пересечении некоторой окрестности U(x0) точки x0 с множеством X (см. свойство 1o пределов функций в п. 6.7), т. е. существует такая постоянная c > 0, что для всех x принадлежит X объединение U  выполняется неравенство | f(x)/g(x)| < c, т. е.

f(x)| < c|g(x)|,

откуда следует, что при выполнении условия (9.29) имеет место соотношение

 f(x) = O(g(x)),    xx0.

    Замечание 4. В определениях 1-4 функции f и g могут быть последовательностями   f = {xn},  g = {yn}, и, таким образом, указанные определения содержат в себе определения следующих понятий:
    а) последовательности, ограниченной относительно другой последовательности: xn = Oyn), nбесконечность
    б) последовательностей одного порядка:   xn ~ yn, nбесконечность;
    в) асимптотически равных последовательностей: xn  yn, nбесконечность
    г) последовательности, бесконечно малой по сравнению с другой последовательностью: xn = oyn), nбесконечность.
     Примеры. 1. sin 2x = O(x), x0, ибо

|sin 2x| < |2x|.

(9.30)

    Верно и соотношение x = O(sin 2x), x0, ибо существует конечный предел (x/sin 2x) = 1/2, и, следовательно, функция x/sin 2x ограничена в некоторой окрестности U(0) точки x = 0 (см. свойство 1o пределов функций в п. 6.7). Иначе говоря, существует такая постоянная c > 0, что для всех x принадлежит U(0) выполняется неравенство |x/sin 2x< c, xне равно0, поэтому

|x< c|sin 2x|,     x принадлежит U(0).

(9.31)

    Из (9.30) и (9.31) следует, что при x0 функции y = x и  y = sin 2x одного порядка:

sin 2xx,     x0.

    2. x3 = o(x2), x0, ибо x3 = x2dot.gif (51 bytes)x и x = 0.
    3. x2 = o(x3), xбесконечность, ибо x2 = (1/x)dot.gif (51 bytes)x и (1/x) = 0.
    4. Поскольку [(sin x)/x], то функции y = x и  y = sin x эквивалентны при x0:

sin x ~ x,     x0.

    Замечание 5. Символы O(g) и o(g) по существу обозначают целые классы функций, обладающих по сравнению с данной функцией определенным свойством, поэтому равенства типа f(x) = O(g(x)) и  f(x) = o(g(x)), xx0, следует читать только слева направо, например, x2 = o(x), x0. Здесь верно то, что функция y = x2 является при x0 бесконечно малой по сравнению с функцией y = x, но не всякая функция, бесконечно малая по сравнению с функцией y = x, является функцией y = x2. Равенства с символами O и o не обладают и рядом других свойств равенств, например, свойством транзитивности:

x2 = o(x),    x3 = o(x),   x0,

но x2 не равно x3.


Замечательные пределы  Оглавление Эквивалентные функции