9.1. Замечательные пределы

    В этом пункте будут вычислены пределы
[(sin x)/x], (1 + x)^1/x, {[ln(1 + x)]/x}, [(a^x - 1)/x], которые обычно называются замечательными пределами.
    I. Докажем, что

Рассмотрим в координатной плоскости круг радиуса R с центром в начале координат. Если (рис.72) OA = R, AOB = x, 0 < x < /2, ACOA, то
пл. OAB < пл. сектора OAB < пл. OAC, т. е. (R²sin x)/2 < (R²x)/2 < (R²tg x)/2; отсюда

sin x < x < tg x,

или

1 < x/sin x < 1/cos x.

В силу четности функций x/sin x и 1/cos x это неравенство справедливо и для -/2 < x < 0. Перейдя в этом неравенстве к пределу при x0 и заметив, что в силу непрерывности функции cos x при x = 0 имеет место равенство
cos x = 1, получим

[x/(sin x)] = 1,

что равносильно равенству (9.1). 
    С помощью предела (9.1) вычисляется ряд других пределов, например,

    II. Докажем, что

Мы уже знаем (см. п. 5.7), что

(1 + 1/n)ⁿ = e.

Более того, из замечания 2 в п. 6.1 следует, что для любой последовательности n_k N, n_k, k = 1, 2, ..., , также имеет место равенство

Пусть x_k > 0 и x_k0, k = 1, 2, ... Положим n_k = [1/x_k] , где [1/x_k] - целая часть числа 1/x_k, тогда

и, следовательно,

Кроме того, согласно условию x_k0 имеем (1/x_k), откуда в силу неравенства (9.4) следует, что

В результате имеем

где

Из (9.7), (9.8) и (9.9) следует, что (см. обозначения в п. 6.6)

Пусть теперь x_k < 0 и x_k0, k = 1, 2, ... Положим y_k = -x_k, тогда y_k > 0 и y_k0, k = 1, 2, ... Без ограничения общности будем считать, что y_k < 1 (с некоторого номера это неравенство заведомо выполняется). Имеем

Положим теперь z_k = y_k/(1 -y_k). Очевидно,

Поэтому

Таким образом,

Отсюда в силу теоремы 2 из п.6.6 и следует равенство (9.2). 
    Вычислим с помощью (9.2) некоторые другие пределы. Покажем прежде всего, что

в частности,

    В самом деле,

{[log_a(1 + x)]/x} = log_a(1 + x)^1/x = log_a(1 + x)^1/x= log_a e = 1/ln a.

Докажем еще, что

в частности, что

    Действительно, положив y = a^x - 1 и, следовательно, x = ln(1 + x)/ln a, получим y =0, а поэтому

Элементарные функции   Оглавление Сравнение функций в окрестности заданной точки