В этом пункте будут вычислены
пределы
[(sin x)/x],
(1 + x)1/x,
{[ln(1 + x)]/x},
[(ax - 1)/x],
которые обычно называются замечательными
пределами.
I. Докажем, что
|
(9.1) |
|
Рассмотрим в координатной
плоскости круг радиуса R с центром в начале
координат. Если (рис.72) OA = R,
AOB = x,
0 < x <
/2, AC
OA, то
пл. OAB < пл. сектора
OAB < пл.
OAC,
т. е. (R2sin x)/2 < (R2x)/2 < (R2tg x)/2;
отсюда
sin x < x < tg x,
или
1 < x/sin x < 1/cos x.
В силу четности функций x/sin x и 1/cos x
это неравенство справедливо и для -/2 < x < 0. Перейдя в этом
неравенстве к пределу при x
0
и заметив, что в силу непрерывности функции cos x
при x = 0 имеет место равенство
cos x = 1, получим
[x/(sin x)] =
1,
что равносильно равенству (9.1).
С помощью предела (9.1) вычисляется ряд
других пределов, например,
II. Докажем, что
|
(9.2) |
Мы уже знаем (см. п. 5.7), что
(1 + 1/n)n
= e.
Более того, из замечания 2
в п. 6.1 следует, что для любой
последовательности nk N, nk
, k = 1,
2, ..., , также имеет место равенство
(9.3) |
Пусть xk > 0 и xk0, k = 1, 2, ... Положим nk = [1/xk]
, где [1/xk] - целая часть числа 1/xk,
тогда
nk < 1/xk < nk + 1 |
(9.4) |
и, следовательно,
1/(nk + 1) < xk < 1/nk. |
(9.5) |
Кроме того, согласно условию xk0 имеем (1/xk)
,
откуда в силу неравенства (9.4) следует, что
|
(9.6) |
В результате имеем
(9.7) |
где
(9.8) |
(9.9) |
Из (9.7), (9.8) и (9.9) следует, что (см. обозначения в п. 6.6)
|
(9.10) |
Пусть теперь xk < 0 и xk0, k = 1, 2, ... Положим yk = -xk,
тогда yk > 0 и yk
0, k = 1, 2, ... Без
ограничения общности будем считать, что yk < 1
(с некоторого номера это неравенство заведомо
выполняется). Имеем
(9.11) |
Положим теперь zk = yk/(1 -yk). Очевидно,
(9.12) |
Поэтому
(9.13) |
Таким образом,
|
= | e. |
(9.10) 9.13) |
Отсюда в силу теоремы 2
из п.6.6 и следует равенство (9.2).
Вычислим с помощью (9.2) некоторые
другие пределы. Покажем прежде всего, что
|
(9.14) |
в частности,
|
(9.15) |
В самом деле,
{[loga(1 + x)]/x}
=
loga(1 + x)1/x
= loga
(1 + x)1/x=
loga e = 1/ln a.
Докажем еще, что
|
(9.16) |
в частности, что
|
(9.17) |
Действительно, положив y = ax
- 1 и, следовательно, x = ln(1 + x)/ln a,
получим y =0, а поэтому