Модель составного ядра

    Модель составного ядра была впервые сформулирована Бором. Согласно этой модели ядерная реакция протекает в два этапа. На первом этапе частица a и ядро мишень А образуют связанную систему составное (компаунд) ядро С, которое на втором этапе распадается на ядро В и частицу b:

a + A C b + B.

    В основе модели лежит предположение, что частица а, попадая в ядро А, сильно взаимодействует с нуклонами ядра. В модели составного ядра предполагается, что длина свободного пробега налетающей частицы много меньше размеров ядра, вследствие чего каждая частица, попадающая в ядро, захватывается им. В результате взаимодействия налетающей частицы и нуклонов ядра энергия возбуждения ядра равная ε_a + B_a (где ε_a - кинетическая энергия налетающей частицы а, B_a - энергия связи частицы а в ядре С) равномерно распределяется между нуклонами ядра, при этом средняя энергия возбуждения, приходящаяся на нуклон, равна
(ε_a+ B_a)/А. Если

(ε_a+ B_a)/А << B_N,

где B_N - энергия связи нуклона в составном ядре С, то должно пройти сравнительно большое время по сравнению со временем пролета частицы через ядро, равным 2R/v, где v - скорость частицы, прежде чем на каком либо нуклоне ядра сосредоточится энергия, достаточная для того чтобы он вылетел из ядра. За время существования составного ядра энергия налетающей частицы распределяется между нуклонами ядра, при этом составное ядро "забывает" о способе своего образования. Это означает, что распад составного ядра не зависит от способа его образования. Поэтому сечение ядерной реакции в модели составного ядра факторизуется (гипотеза независимости Бора) и определяется соотношением

где σ_aC - сечение образования составного ядра, а W_b - вероятность распада составного ядра по каналу b+B. Вероятность распада по данному каналу определяется конкуренцией различных, открытых при данной энергии, каналов реакций

 где Г_i - парциальные ширины распадов.
    Процесс испускания частицы b подобен процессу испарения молекулы из кипящей жидкости, так как вероятность вылета молекулы из кипящей жидкости также определяется вероятностью концентрации на этой молекуле энергии, большей ее энергии связи в жидкости. Таким образом, форма энергетического спектра частиц b для реакций, идущих через составное ядро, будет описываться максвелловским распределением. Такие спектры частиц получили название испарительных спектров.

Рис. с1. Угловые распределения протонов с энергией 3.3 МэВ из реакций (,p) - верхняя кривая и (p,p') - нижняя кривая. В том и другом случае возбуждается одно и то же составное ядро 59Co с одной и той же энергией возбуждения. Видно, что анизотропия в случае реакции вызванной -частицами с энергией 20.7 МэВ больше, чем в случае использования протонов с энергией 16.33 МэВ [1]

    На первый взгляд может показаться, что угловые распределения частиц при их "испарении" должны быть изотропными в системе центра инерции. Однако это не совсем так. Если реакция происходит с ненулевым параметром столкновения, составное ядро начинает вращаться, причем переданный ему угловой момент лежит в плоскости, перпендикулярной направлению налетающей частицы. Поэтому частицы будут испаряться преимущественно в направлении пучка, вообще говоря не изотропно, а симметрично относительно 90⁰. Отклонение от изотропии должно быть тем больше, чем быстрее вращается ядро, т.е. чем больше угловой момент состояния, в котором оказывается образововшееся составное ядро. Понятно, что этот эффект тем больше, чем больше энергия и/или чем тяжелее налетающие частицы (см. рис с.1).
   Концепция составного ядра применима главным образом для средних и тяжелых ядер и для энергий возбуждения вплоть до нескольких десятков МэВ. При больших энергиях длина свободного пробега нуклона в ядре становится больше радиуса ядра и вероятность захвата нуклона ядром уже не равна единице.
    Получим формулу для сечения образования составного ядра. Будем предполагать, что сечение образования составного ядра не зависит от квантовых чисел налетающей частицы и квантовых чисел составного ядра, и что уровни составного ядра образуют непрерывный спектр. Рассмотрим ситуацию, когда налетающая частиц является нейтральной и не нужно учитывать кулоновское взаимодействие, - образование составного ядра в реакциях с нейтронами. Ядерные силы являются короткодействующими, поэтому можно считать, что они отличны от нуля только внутри ядра. Следовательно, сечение процесса, состоящего в том, что частица попадает в область действия ядерных сил, определяется геометрическим сечением. Сечение образования составного ядра (_aC) можно представить в виде суммы :

где R - радиус ядра, - длина волны Де-Бройля для нейтрона, l - орбитальный момент нейтрона, S_l - парциальное геометрическое сечение, T_l - коэффициент проницаемости, характеризующее вероятность проникновения частицы в ядро. Коэффициент проницаемости должен учитывать квантовомеханический эффект прохождения волны через скачек потенциала, прозрачность центробежного барьера,   а для заряженных частиц нужно также учесть и прозрачность кулоновского барьера. В рассматриваемом случае суммирование ведется только до тех орбитальных моментов, для которых кинетическая энергия больше высоты центробежного барьера (l < R/) и необходимо учесть только эффект прохождения волны через скачек потенциала.
    На границе ядра, при r = R, происходит резкий скачок потенциала, связанный с тем, что в области r < R, действуют ядерные силы имеющие характер притяжения. При прохождении плоской волны через скачок потенциала возникает отраженная волна. Квантовомеханический расчет коэффициента прохождения P приводит к следующему результату:

где k = (2mε)^1/2/- волновое число частицы вне ядра,   K = (2m(ε + V₀ )^1/2/ - волновое число частицы в ядре, m,ε- масса и энергия частицы V₀ - глубина ядерного потенциала.
    Рассмотрим случай небольших энергий нейтронов (ε << V₀, >> R, l_max= 0).
Тогда T₀ = P₀ = 4k/K = 4(ε)^1/2(V₀)^-1/2

σaC = π2P0,	(com.5a)
σaC = 4π/kK,	(com.5b)
σaC ~ (ε)-1/2 ~ 1/v.	(com.5c)

где v - скорость нейтрона.
При высоких энергиях сталкивающихся частиц, т.е. при << R, коэффициент прохождения P стремится к 1, а полное сечение реакций к πR². Таким образом, в рассматриваемой модели при высоких энергиях ядро полностью поглощает падающую на него волну. Такая модель   называется моделью черного ядра. На Рис. с2 показано сечение образования компаунд ядра в реакциях ¹²⁰Sn + p и ¹²⁰Sn + n. При небольших энергиях сечение реакций с протонами подавлено из-за кулоновского барьера, нейтронные сечения наоборот с уменьшением энергии растут за счет увеличения длины волны налетающего нейтрона.

    Первое количественное описание реакции, идущей через компаунд-ядро в области изолированных резонансов, было получено Брейтом и Вигнером в 1936 году.
    Широкое распространение в расчетах сечений ядерных реакций в области перекрывающихся резонансов получила феноменологическая модель испарения, предложенная Вайскопфом и Ивингом в 1937 году.
    Cечение в этой модели можно записать в виде

,

(com.6)

где a = (π²/6)g - параметр плотности уровней (g - плотность одночастичных состояний вблизи энергии Ферми), U - энергия возбуждения конечного ядра, _b - энергия частицы b. Энергии связаны соотношением 
E_a  ~  B_b + U + (A_a/A_b)ε_b, где B_b - энергия связи частицы b, A_a и A_b- массовые числа составного  и конечного ядер, σ_inv(ε_b) так называемое сечение обратной реакции, сечение поглощения частицы b с энергией ε_b конечным ядром. Анализ экспериментальных данных с помощью этой формулы позволяет извлечь информацию о плотности одночастичных состояний в ядрах.
    На рис. c3 показана систематика параметра плотности уровней полученная из анализа экспериментальных данных - из резонансных спектров медленных нейтронов и испарительных спектров. Видно, что в целом параметр плотностей уровней линейно зависит от массового числа, что следует из модели ферми-газа.