Семинар 2. Квантовые свойства излучения и частиц

    Представления о дискретной структуре материи зародилось в XIX веке.
    В 1811 г. А. Авогадро предположил, что в равных объемах различных газов при одинаковой температуре содержится одинаковое количество молекул. Гипотеза Авогадро объяснила многие макроскопические свойства вещества на основе молекулярной теории. В данном представлении материя является не сплошной средой, а дискретной, состоящей из отдельных молекул, то есть квантованной.
    Следующий важный шаг в представлении о дискретной структуре вещества был сделан на основе работ М. Фарадея (1833 г.) по электролизу. Из опытов Фарадея следовало, что электрический заряд, как и материя, не является непрерывным, а состоит из отдельных частиц, имеющих минимальный электрический заряд.
    В 1897 г., изучая явление электрического разряда в газах, Дж. Томсон открыл электрон – мельчайшую частицу, имеющую единый отрицательный заряд. Заряд электрона был измерен Р. Милликеном в 1912 г. Важный шаг в понимании квантовой дискретной структуры излучения был сделан М. Планком. Явление дифракции электронов подтвердило корпускулярно-волновую природу частиц.

3.1. Излучение абсолютно черного тела. Формула Планка

3.2. Фотоэффект

3.3. Эффект Комптона

3.4. Корпускулярно-волновой дуализм

3.5. Дифракция электронов

3.6. Принцип неопределенности В. Гейзенберга

       Задачи

2.1. Излучение абсолютно черного тела. Формула Планка

Рис. 2.1. Распределение энергии в спектре теплового излучения абсолютно черного тела.

    В классической физике плотность излучения абсолютно черного тела описывается законом Рэлея-Джинса

где ν − частота излучения, k − постоянная Больцмана, T − абсолютная температура. В области низких частот формула Рэлея-Джинса хорошо описывает экспериментальные данные. Однако в области высоких частот расхождения с экспериментом были настолько существенны, что возникшую ситуацию стали называть «ультрафиолетовой катастрофой».
    В 1900 г. была опубликована работа М. Планка, посвященная проблеме теплового излучения тел. Планк моделировал вещество как совокупность гармонических осцилляторов различной частоты ν. Предположив, что излучение происходит не непрерывно, а порциями – квантами hν, он получил формулу распределения плотности энергии в спектре теплового излучения U(T,ν), которая хорошо согласовывалась с опытными данными

(2.2)

 где k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура, ν – частота излучения, h – постоянная Планка

h = 6.62·10^-34 Дж·с = 6.62·10^-27 эрг·с.

В квантовой теории чаще используют приведенную постоянную Планка ћ

ћ = h/2π = 1.05·10^-34Дж·с = 6.58×10^-22 МэВ·с,

которая также называется постоянной Планка.

    Через пять лет А. Эйнштейн, обобщив идею Планка, показал, что квантованность является общим свойством электромагнитного излучения. Согласно идеям Эйнштейна электромагнитное излучение состоит из квантов, названных позднее фотонами. Каждый фотон имеет определенную энергию E и импульс :

Е = ћω, = ћ//, ω = 2πν

(2.3)

где и ω − приведенная длина волны и частота фотона, − единичный вектор в направлении распространения волны.

= λ/2π,  ω = 2πν.

(2.4)

Необходимо помнить, что истинной длиной волны является λ, а не .

3.2. Фотоэффект

    Фотоэффект был открыт Г. Герцем в 1887 г. и подробно исследован А.Г. Столетовым. При облучении металлической поверхности светом из неё вылетают электроны. Было установлено, что энергии вылетающих электронов не зависят от интенсивности излучения и определяются только его частотой. Кинетическая энергия электрона T_e, вылетающего из металла под действием фотона с энергией ћω

где A_вых – работа выхода металла. Эта формула была написана Эйнштейном в 1905 г. примерно через полтора десятка лет после первых экспериментов А.Г. Столетова. Представления о квантованности электромагнитного излучения позволили объяснить закономерности фотоэффекта.

3.3. Эффект Комптона

    На основе квантовой теории А. Комптоном было объяснено явление упругого рассеяния электромагнитного излучения на свободных электронах, сопровождающееся увеличением длины волны излучения (эффект Комптона). Из законов сохранения энергии и импульса следует формула Комптона для изменения длины волны фотона Δλ, рассеянного под углом θ,

где λ и λ' – соответственно длины волн падающего и рассеянного фотона,
λ₀ = h/m_ec = 2.4·10^-10 см = 0.024 Å – комптоновская длина волны электрона. Изменение длины волны фотона Δλ не зависит от длины волны падающего фотона. Оно определяется только углом рассеяния фотона θ. При комптоновском рассеянии увеличивается длина волны фотона, т. е. уменьшается его частота. Это уменьшение частоты очевидное с точки зрения корпускулярной теории (уменьшение энергии фотона происходит за счёт передачи части энергии электрону отдачи) не удавалось объяснить в классической электродинамике, где частота света при рассеянии не должна изменяться.

Рис. 2.2 Спектры рассеянного излучения для трех углов рассеяния. Абсцисса пропорциональна длине излучения, ордината – интенсивности излучения. а) Спектр падающего излучения; б) – г) спектры рассеянного на графите излучения.
Пики слева на всех графиках отвечают фотонам с исходной длиной волны λ, которые рассеиваются на сильно связанных электронах с эффективной массой, равной массе атома. Максимумы справа имеют длину волны λ', соответствующую формуле Комптона.

3.4. Корпускулярно-волновой дуализм

    Важным этапом в становлении современного понимания структуры материи стала выдвинутая де Бройлем в 1924 г. гипотеза об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно этой гипотезе не только фотоны, но и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также и волновыми свойствами. Де Бройль предложил, что каждой частице, движущейся с импульсом р, следует приписать определённую длину волны – дебройлевскую длину волны. Соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц те же, что были установлены ранее для фотонов

Е = ћω, р = ћk = ћ/.

(2.7)

    Опытами, подтверждающими идею корпускулярно-волнового дуализма, были опыты по дифракции электронов на монокристаллах.

3.5. Дифракция электронов

    В 1927 г. Дж. Томсон исследовал прохождение электронов с энергией от 10 до 40 кэВ через тонкую металлическую фольгу и наблюдал дифракционную картину, аналогичную дифракционной картине фотонов соответствующих энергий.

Рис. 3.3. Опыт Томсона. а) Схема установки для наблюдения дифракции на поликристаллической алюминиевой мишени. б) Дифракционная картина, полученная при рассеянии рентгеновских лучей λ = 0.071 нм. в) Дифракционная картина, полученная при рассеянии электронов с энергией 600 эВ (увеличена в 1.6 раза для сравнения с б)).

    Дифракционная картина наблюдалась в опытах К. Дэвиссона и Л. Джермера (1927 г.) по изучению отражения электронов от монокристалла никеля. Дифракция появлялась в результате рассеяния электронов на атомах в узлах кристаллической решетки.
    Позднее наблюдалась дифракция нейтронов и других частиц. Метод дифракции частиц в настоящее время широко используется в изучении строения и свойств вещества. Атомные ядра являются объектом с характерным размером ~ 10^–12 см. Поэтому рассеяние частиц с длиной волны де Бройля
λ < 10^–12 см позволяет исследовать эти объекты. Наиболее точные измерения размеров ядер были выполнены при рассеянии электронов и протонов высоких энергий.
Длина волны λ частицы зависит от ее массы m и кинетической энергии T:

(2.8)

3.6. Принцип неопределенности Гейзенберга

    Экспериментальное подтверждение идеи корпускулярно-волнового дуализма привело к пересмотру привычных представлений о движении частиц и способа описания частиц. Для классических материальных точек характерно движение по определенным траекториям, так, что их координаты и импульсы в любой момент времени точно определены. Для квантовых частиц это утверждение неприемлемо, так как для квантовой частицы импульс частицы связан с ее длиной волны, а говорить о длине волны в данной точке пространства бессмысленно. Для квантовой частицы нельзя одновременно точно определить значения ее координат и импульса. Неопределенность в значении координаты частицы Δx и неопределенность в значении компоненты импульса частицы Δр_x связаны соотношением неопределенности, установленным В. Гейзенбергом в 1927 году

    Физический смысл соотношения неопределённости (принципа неопределенности) состоит в том, что невозможно одновременно точно определить положение частицы (x,y,z) и её импульс

Энергию ΔE называют шириной Г уровня возбужденного состояния ядра. Для атомного ядра или частицы, имеющей конечное время жизни τ, неопределенность в энергии ΔЕ = Г ≈ ћ/τ. Измеряя величину Г, можно рассчитать среднее время жизни возбужденного состояния.
   Важным следствием принципа неопределенности является то, что частица массы m, заключенная в конечном объеме L, не может иметь нулевую кинетическую энергию:

T ≥ ћ²/2mL².

Задачи

2.1. Пластинка серебра облучается светом с приведенной длиной волны  = 160 Å. Работа выхода для серебра А_вых = 4.7 эВ. Определить кинетическую энергию вылетающего электрона.

2.2. Фотон с длиной волны λ = 0.024 Å рассеивается на покоящемся электроне под углом θ =  60^о. Рассчитать длину волны рассеянного фотона.

2.3. Рассчитать приведенные длины волн протона и электрона с кинетической энергией T = 100 МэВ.

2.4. Приведенная длина волны фотона = 3·10^-11 см. Вычислить импульс фотона p.

2.5. Определите ширину возбужденного состояния ядра, если время жизни τ ядра в данном состоянии составляет 6.7·10^-10 с.

2.6. Доказать невозможность осуществления в вакууме:
а) перехода фотона в электрон-позитронную пару;
б) излучения фотона свободным электроном.

2.7. Получите зависимость длины волны рассеянного γ-кванта от угла рассеяния при рассеянии фотона на неподвижном электроне (эффект Комптона).

2.8. При столкновении релятивистских электронов E_e >> m_ec² с лазерными фотонами E_γ ~1 эВ определить энергию фотонов, рассеянных назад (обратный Комптон-эффект).

2.9. Реликтовое фоновое излучение описывается распределением Планка с температурой 2.7 К. Какая длина волны соответствует максимуму спектра фонового излучения?

2.10. Работа выхода для цезия Cs равна 1.8 эВ. Определить пороговую длину волны и пороговую частоту фотоэффекта. Определить величину запирающего потенциала, если длина волны падающего света равна а) 3000 Å, б) 4000 Å.
Ответ: λ = 6877 Å, ν = 4.3·10¹⁴ Гц,  1) U = 2.3 В, 2) U = 1.3 В

2.11. Работа выхода для молибдена Mo равна 4.22 эВ.

• Какова пороговая частота фотоэффекта для Mo?
• Сможет ли жёлтый цвет с длиной волны λ = 5000 Å привести к выбиванию фотоэлектронов из молибдена?

Ответ:  ν = 1.02·10¹⁵ Гц

2.12. Максимальная длина волны, при которой происходит эмиссия фотоэлектронов из цезия Cs равна 6530 Å.

• Чему равна работа выхода для цезия?
• Какую энергию будут иметь выбиваемые электроны при облучении цезия светом с длиной волны 3000 Å?

Ответ: A_вых = 1.9 эВ, T_e = 2.2 эВ

2.13. Определите импульс фотона в эВ/с, если его длина волны равна а) 4000 Å, б) 1 Å, в) 3 см.
Ответ: 1) pc = 3.1 эВ; 2)  pc = 12.4 кэВ; 3)  pc = 4.1·10^–5 эВ.

2.14. Длина волны фотонов, испытавших комптоновское рассеяние, измеряется под углом θ = 90^o. Какова длина волны падающих фотонов, если Δλ/λ = 1%?
Ответ: λ = 2.4 Å

2.15. Длина волны фотона λ = 0.71 Å.

• Какова энергия фотонов?
• Какова длина волны фотонов, рассеянных на 180°?
• Какова энергия электронов отдачи, если θ − 180°?

2.16. Показать, что максимальная кинетическая энергия E_k электрона отдачи в случае эффекта Комптона определяется соотношением

2.17. Какой должна быть кинетическая энергия электронов, чтобы с их помощью исследовать структуру атома, атомного ядра, нуклона?

2.18. Вычислите длину волны де Бройля электрона с кинетической энергией 1) 10 эВ, 2) 20 кэВ,
3) 1 МэВ, 4) 1 ГэВ.
Ответ: 1) 4 Å; 2) 12·10³ Фм; 3) 875 Фм; 4) 1.2 Фм

2.19. Возбужденное состояние атома распадается с испусканием фотона за время τ ≈ 10^-8 с после возбуждения. Какова неопределенность энергии и частоты испускаемого фотона?
Ответ:  ∆E = 6.6·10^–8 эВ, ∆ν = 16 МГц

2.20. Определите длины волн де Бройля нейтрона с кинетической энергией 1) 0.01 эВ, 2) 1 эВ и
3) 10 МэВ.
Ответ: 1) 2.8 Å; 2) 0.28 Å; 3) 9 Фм

2.21. Длина волны де Бройля электрона в электронном микроскопе составляет 0.04 нм. Определите величины ускоряющего напряжения микроскопа. (1 нм = 10 Å = 10^-9 м).
Ответ: U = 0.94 кВ

2.22. Вычислите длины волн де Бройля электрона, протона и α-частицы, кинетическая энергия которых составляет а) 100 кэВ, б) 1 ГэВ.
Ответ: 1) λ_e = 3695 Фм, λ_p = 90 Фм, λ_α = 45 Фм; 2) λ_e = 1.2 Фм, λ_p = 0.7 Фм, λ_α = 0.4 Фм

2.23. Вычислите комптоновские длины волн электрона протона и α-частицы.

2.24. Энергия возбужденного состояния ядра  E_возб = 10 МэВ определена с точностью 10^-2 эВ. Каково время жизни этого состояния?
Ответ: t = 6.6·10^–14 с

2.25. Электрон и позитрон, движущиеся навстречу друг другу со скоростями равными 5·10⁷ см/сек, аннигилируют с образованием двух фотонов. Какова была длина волны электрона и позитрона до столкновения? Рассчитайте энергию, импульс и длину волны образовавшихся фотонов.
Ответ: λ_e = 1.4 нм; E_γ = p_γc ≈ m_ec²; λ_γ = 2.4·10³ Фм

2.26. Определить энергию фотонов, рассеянных назад, при столкновении релятивистских электронов с лазерными фотонами E_γ = 1.2 эВ.
1) Энергия электронов E_e = 5 ГэВ, энергия фотонов (эксперимент на ускорителе ВЭПП-4М, Новосибирск).
2) Энергия электронов E_e = 46 ГэВ (SLAC, Стэнфорд).
3) Проектная энергия электронов E_e = 100 ГэВ (проект FCC).
4) Проектная энергия электронов E_e = 500 ГэВ (проект ILC).
Ответ: 1) E'_γ = 0.42 ГэВ, 2) E'_γ = 21 ГэВ, 3) E'_γ = 73 ГэВ, 4) E'_γ = 450 ГэВ

2.27. В экспериментах Комптона происходило рассеяние фотонов на свободных электронах. Чем будет отличаться рассеяние фотонов на электронах, связанных в атоме?

2.28. Как можно наблюдать рассеяние фотонов на протонах. В чем отличие от рассеяния фотонов на свободных электронах?

2.29. Можно ли наблюдать рассеяние фотонов на нейтроне? В чем отличие от рассеяния фотонов на протоне?

2.30. Рассчитайте изменение длины волны фотона с энергией 200 кэВ при рассеянии на нейтроне под углом 90°.
Ответ: ∆λ = 1.32 Фм

2.31. Фотон с энергией 3 МэВ в поле атомного ядра ²⁰⁸Pb рождает электрон-позитронную пару. Рассчитайте энергию электронов.

2.32. Объясните, почему в зависимости интенсивности комптоновского рассеяния от длины волны наблюдается два максимума, один из которых соответствует фотонам с исходной длиной волны.

2.33. Рассчитайте, используя соотношение неопределенности, минимальную энергию

• электрона в одномерном ящике размером 1 Å,
• протона в одномерном ящике размером 1 Фм,
• частицы массой 10^–6 г в одномерном ящике размером 10^–5 см.

2.34. Рассчитайте кинетическую энергию электрона, если отношение длины волны де Бройля к комптоновской длине волны составляет а) 10³, б) 10^–2.
Ответ: а) T_e = 0.25 эВ; б) T_e = 51.1 МэВ

2.35. Определите длину волны протона, ускоренного на LHC до E_p = 7 ТэВ.
Ответ: λ_p = 2·10^–4 Фм

2.36. Рассчитайте длину волны молекулы азота при комнатной температуре.

2.37. Каков должен быть размер рассеивающей частицы, чтобы на ней можно было наблюдать дифракцию нейтронов с энергией 10 МэВ.
Ответ: d ~10 Фм

2.38. В ядре ⁸⁹Y возбужденное состояние с энергией 0.93 МэВ и периодом полураспада T_1/2 = 16 c переходит в основное состояние. Рассчитайте неопределенность энергии испущенного при этом фотона.
Ответ: ∆E = 2.8·10^–19 эВ

2.39. В ядре происходит гамма-переход между двумя возбужденными состояниями энергии 1.34 МэВ и 0.55 МэВ. Период полураспада этих состояний 4·10^–12 с и 10^–12 с соответственно. Рассчитайте энергию испускаемого γ-кванта и ее неопределенность.
Ответ: E_γ = 0.79 МэВ, ∆E = 1.1·10^–4 эВ

26.10.2016