32.4. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора

    1.Разложение в ряд функции f(x) = e^x. Поскольку  f ⁽ⁿ⁾(x) = e^x, то для любого фиксированного a > 0, для всех x (-a,a) и всех n = 1, 2, ... выполняется неравенство

0 < f ⁽ⁿ⁾(x) < e^a.

Таким образом, на интервале (-a,a) для функции e^x выполнены условия теоремы 7 (x₀ = 0) и, следовательно, функция e^x раскладывается в ряд Тейлора на любом конечном интервале, а потому и на всей числовой оси.     Заметив, что в данном случае f ⁽ⁿ⁾(0) = 1, получим (см. (32.47))

Напомним, что в п. 31.1 было установлено, что ряд zⁿ/n! абсолютно сходится на всей комплексной плоскости (впрочем, это независимо от предыдущего следует согласно первой теореме Абеля и из доказанной здесь сходимости ряда (32.50) на всей действительной числовой оси). В силу формулы (32.50) для действительных z = x его сумма равна e^x. В случае существенно комплексных z его сумму по аналогии обозначают e^z. Таким образом, формула

для существенно комплексных чисел z является определением функции e^z.
    Так определенная функция e^z, z C, не только совпадает для действительных z = x с известной показательной функцией e^x, но и сохраняет в комплексной области ряд свойств показательной функции действительного аргумента. Например,

Действительно, ряды, полученные из (32.51) при z = z₁ и z = z₂, абсолютно сходятся, поэтому их можно почленно перемножить; так как получившийся при этом ряд также абсолютно сходится, то его члены можно располагать в произвольном порядке. Соберем все члены, содержащие произведения степеней z₁ и z₂ с одинаковой суммой показателей, равной n, расположим эти группы по возрастанию n, а затем умножим и разделим их на 1/n!:

= = =                  
= = = .

    2. Разложение в ряды sh x и ch x. Заменив в формуле (32.50) x на -x (это означает просто изменение обозначения), получим

Сложив и вычтя равенства (32.50) и (32.53), а затем деля их на 2, получим

В правых частях этих формул в силу единственности разложений функций в степенные ряды стоят ряды Тейлора соответственно функций ch x и sh x.
    Поскольку функция e^z определена для всех комплексных значений аргумента z, то на существенно комплексные значения аргумента можно распространить и гиперболические функции ch x и sh x, положив

ch z (e^z + e^-z)/2,  sh z (e^z - e^-z)/2,     z C.

    Определенные таким образом функции ch z и sh z для комплексных z раскладываются в степенные ряды (32.54) и (32.55) (в которых вместо x надо написать z), сходящиеся на всей комплексной плоскости.
    3. Разложение в ряды sin x и cos x. Формула Эйлера.
    Если f ⁽ⁿ⁾(x) = sin x, то f ⁽ⁿ⁾(x) = sin (x + n/2), n = 1, 2, ... (см. п. 11.1), поэтому | f ⁽ⁿ⁾(x)| < 1 для всех действительных x. Согласно теореме 7 отсюда следует, что функция sin x раскладывается в степенной ряд на всей действительной числовой оси. Вспомнив формулу Тейлора для синуса (см. п. 14.2), получим для него ряд Тейлора

Рассуждая аналогично для cos x и вспоминая его формулу Тейлора, получим

    В силу первой теоремы Абеля ряды, стоящие в правых частях формул (32.56) и (32.57), сходятся на всей комплексной плоскости. Это позволяет распространить синус и косинус на комплексные значения аргумента, положив для любого комплексного z

    В комплексной области легко установить связь между показательной и тригонометрическими функциями. Заменив z в ряде (32.51) сначала на iz, а затем на -iz, получим

Заметив, что i^2k = (-1)^k и, следовательно, i^2k+1 = (-1)^ki, k = 0, 1, 2, ..., из (32.60) получим

(e^iz + e^-iz)/2 =(-1)^k,   (e^iz - e^-iz)/2i =(-1)^k,

Сравнив эти формулы с (32.58) и (32.59), видим, что

    В силу определения ch z и sh z для комплексных значений переменной z (см. выше) формулы (32.61) можно записать в виде

ch iz = cos z,      sh iz = isin z.

Таким образом, в комплексной области cos z может быть получен из функции ch z с помощью замены переменной z = i, а функция sin z - из sh z той же заменой и делением на i:

ch z = ch i = cos,    sh z = sh i= isin.

    Из формул (32.61) непосредственно следует также формула

    Формулы (32.61) и (32.62) называются формулами Эйлера. Они, конечно, справедливы и для действительных значений z.
    Если в формуле (32.62) z  =  - действительное число, то

Отсюда следует, что модуль комплексного числа вида , R, равен 1:

= (cos² + isin² )^1/2 = 1.

    Из формулы (32.63) следует также, что комплексное число z с модулем r и аргументом , т. е.
z = r(cos + isin ), можно записать в виде

z = .

Положив здесь r = 1, = и, следовательно, z = -1, получим

= -1

- удивительную формулу, открытую Эйлером, устанавливающую связь между числами -1, , i и e. Удивительную потому, что эти числа были открыты математиками при изучении весьма далеких друг от друга задач: число -1 появилось тогда, когда было понято, что при введении отрицательных чисел операция вычитания приобретает смысл для любой упорядоченной пары натуральных чисел (кроме того, отрицательные числа оказались удобными при сравнении температур тел с температурой замерзания воды, при измерении высот и низин на земле относительно уровня моря и т. п.); число является отношением длины окружности к диаметру, мнимая единица i дает возможность решать любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами, а число e представляет собой такое основание показательной функции, при котором с ней совпадает ее производная. Поэтому не удивительно, что в городе Кингстоне в Канаде на фасаде главного здания Королевского университета можно увидеть огромную формулу Эйлера: = -1.
    Из формулы (32.63) следует неожиданное, на первый взгляд, свойство функции e^z - она оказывается периодической на комплексной плоскости и ее период равен 2i. Действительно, так как

cos 2 + isin 2 = 1.

то для любого z имеем

= e^z = e^z.

    Отсюда следует, что обратная к функции e^z функция, обозначаемая ln z и определяемая равенством

e^{ln z} = z,

является в комплексной области многозначной функцией. Имея для комплексного переменного понятие экспоненциальной функции e^z и логарифмической функции ln z, можно для любых комплексных чисел z и w определить степень

w^z

по формуле

w^z = e^zln w.

    Упражнение. Доказать, что все значения iⁱ являются действительными числами.
    Из того, что функция e^z имеет период 2i, вытекает, что функции cos z и sin z остаются периодическими с периодом 2 и для комплексных значений аргумента:

cos (z + 2)( + )/2 = (e^iz + e^-iz)/2 = cos z,      z C.

Аналогично sin (z + 2) = sin z,   z C.
    Замечание. Понятие функции комплексной переменной бывает полезно использовать и при изучении функций действительного аргумента, принимающих только действительные значения. Покажем это на примере вычисления интеграла . Применив формулу Эйлера

,

получим

=

(ср. с вычислением этого интеграла в п. 22.4).
    4. Разложение в ряд ln(1 + x). Согласно формуле Тейлора

ln(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 - ... +(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n + r_n(x),     x > -1.

    Запишем остаточный член r_n(x) этой формулы в виде Лагранжа. Так как

(ln (1 + x))⁽ⁿ⁺¹⁾ = (-1)ⁿn!/(1+x)⁽ⁿ⁺¹⁾,

то

r_n(x) = ,      0 < <1

(, как всегда, зависит от x и от n).
    Если 0 < x < 1, то 0 < 1/(1 +  x) < 1. Поэтому |r_n(x)| < 1/(n + 1} и, следовательно,

    Если же -1 < x < 0, то запишем остаточный член r_n(x) в виде Коши:

r_n(x) =

Здесь x = -|x| и поэтому

0 < = <1,

ибо в числителе дроби из 1 вычитается большее число, чем в знаменателе: |x| < . Кроме того,

ибо |x| < |x|. Поэтому при x (-1,0) имеем

|r_n(x)| =

и так как |x| < 1, то и здесь

Из (32.64) и (32.65) следует, что для всех x (-1,1] справедливо разложение

    При x = -1 этот ряд расходится, так как его члены только знаком минус отличаются от членов гармонического ряда, который, как мы знаем, расходится. Расходится ряд, стоящий в правой части формулы (32.66), и при всех x, больших по абсолютной величине единицы, так как в этом случае последовательность его членов не стремится к нулю; более того,

(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n = ,         |x| >1.

    Если воспользоваться второй теоремой Абеля (п. 32.1), отмеченной звездочкой, как необязательной при сокращенной программе, то разложение функции ln (1 + x) в степенной ряд можно получить косвенным, но более коротким путем. Рассмотрим следующий ряд, представляющий собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

    Ряд в правой части равенства сходится равномерно на любом отрезке [-q,q], 0 < q < 1. Это следует, например, из признака Вейерштрасса, ибо при |x| < q выполняются, очевидно, неравенства |(-1)ⁿxⁿ| < qⁿ, n = 0, 1, 2, ...$, а числовой ряд qⁿ сходится.
    Из равномерной сходимости ряда (32.67) вытекает, что его можно почленно интегрировать от 0 до x (-1,1) (теорема 8 из п. 31.4). Выполнив это интегрирование, получим

ln (1 + x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 +... + (-1)ⁿxⁿ+1/(n + 1) + ...,

или, записав правую часть с помощью знака суммирования,

ln (1 + x) = (-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n.

При этом, согласно указанной теореме, ряд в правой части этого равенства сходится на интервале (-1,1), а по признаку Лейбница (теорема 9 из п. 30.5) он сходится и в точке x = 1. Следовательно, согласно второй теореме Абеля (теорема 3* из п. 32.1), сумма ряда ln (1 + x) = (-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n непрерывна на отрезке [0,1]. Но так как функция ln (1 + x) также непрерывна на этом отрезке, а на интервале (-1,1) совпадает с суммой рассматриваемого ряда, то, устремив x к 1, получим, что функция ln (1 + x) и сумма ряда (-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n совпадают и при x = 1. Таким образом, мы снова пришли к разложению функции ln (1 + x) в степенной ряд на промежутке (-1,1] (см. (32.66)).
    5. Разложение в степенной ряд степени бинома . Формула Тейлора для функции имеет вид

Соответствующий ряд, называемый биномиальным рядом с показателем , имеет имеет вид

    Если является натуральным числом, то этот ряд содержит лишь конечное число членов, не равных 0, и превращается в известную формулу бинома Ньютона

= xⁿ.

Будем предполагать, что не является натуральным числом и что x0, тогда все члены ряда (32.69) не равны 0. Исследуем его абсолютную сходимость с помощью признака Даламбера. Положив

u_n = |( - 1)...( - n + 1)xⁿ/n!|.

получим

u_n+1/u_n = | - n||x|/(n + 1) = |x|.

Следовательно, ряд (32.69) абсолютно сходится при |x| < 1 и, поскольку этот ряд степенной, расходится при |x| > 1. Докажем, что суммой ряда (32.69) на интервале (-1,1) является функция . Для этого исследуем остаточный член r_n(x) в формуле Тейлора (32.68), записав его в виде Коши. Поскольку

[]^{(n + 1)} = ( - 1)...( - n),

то

r_n(x) = ( - 1)...( - n)(1 - )ⁿxⁿ+1/n!,  0 < <1.

Положим

a_n(x) = ( - 1)[( - 1) - 1]...[( - 1)  - n + 1])xⁿ/n!,
b_n(x) = x;      c_n(x) = [(1 - )/(1 + x)]ⁿ;

тогда

Сомножитель a_n(x) является членом биномиального ряда с показателем - 1, и так как выше было показано, что любой биномиальный ряд сходится на интервале (-1,1), то

Далее, из неравенств

1 - |x| < 1 - |x| < 1+x < 1 + |x| < 1 + |x|,

где -1 < x <1, следует, что значения b_n(x) заключены между числами |x|(1 - и |x|(1 + , не зависящими от n, т. е. последовательность {b_n(x)} ограничена при каждом x (-1,1).
    Что же касается последовательности {c_n(x)}, то она ограничена равномерно на всем интервале (-1,1):

c_n(x) = [(1 - )/(1 + x)]ⁿ < [(1 - )/(1 - |x|)]ⁿ < 1.

а это означает, что на интервале (-1,1) имеет место разложение

Сходимость ряда, стоящего в правой части равенства, в точках x = -1 и x = 1 требует дополнительного исследования. Можно показать, что в точке x = 1 при > -1 биномиальный ряд сходится, а при < -1 расходится. В точке x = -1 при > 0 он абсолютно сходится, а при < 0 расходится. При этом, согласно второй теореме Абеля, всякий раз, когда биномиальный ряд (32.69) сходится, его сумма равна .
    Иногда для получения разложения функции в степенной ряд вместо оценки остаточного члена в формуле Тейлора проще воспользоваться каким-либо уже известным разложением и из него с помощью общих теорем о функциональных рядах получить искомое разложение. Поясним сказанное на нижеследующем примере.
    6. Разложение arctg x. Найдем производную arctg x и разложим ее в степенной ряд по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

    Ряд, стоящий в правой части равенства, имеет радиус сходимости R = 1, и поэтому его можно почленно интегрировать на интервале (-1,1)

    Радиус сходимости получившегося ряда также равен 1 (см. теорему 3). Таким образом, функция arctg x оказалась разложенной в степенной ряд с радиусом сходимости, равным единице. На первый взгляд это представляется несколько неожиданным, так как arctg x является бесконечно дифференцируемой на всей числовой оси функцией. Это связано с тем, что производная функции arctg x заведомо не может быть разложена в степенной ряд с радиусом сходимости больше единицы, так как функция 1/(1 + x²) обращается в бесконечность при z = + i.
    Важно отметить, что разложение (32.74) справедливо и на концах x = +1 интервала сходимости (-1, 1). Действительно, при x = +1 ряд, стоящий в правой части равенства (32.74), сходится в силу признака Лейбница, а тогда его сумма $s(x)$, согласно следствию из второй теоремы Абеля (теорема 3* в п. 32.1), непрерывна на отрезке [-1,1]. Таким образом, две непрерывные на отрезке [-1, 1] функции arctg x и s(x) совпадают в силу равенства (32.74) на интервале (-1, 1), а тогда они совпадают при x = +1, т. е. и при этих значениях x функция arctg x является суммой ряда, стоящего в правой части равенства (32.74):

    При подстановке в разложение функции в ряд какого-либо фиксированного значения переменной получается формула для суммы соответствующего числового ряда. Так, подставив в ряд (32.75) x = 1 и заметив, что arctg 1 = /4, получим

/4 =(-1)ⁿ/(2n + 1).

    7. Разложение arcsin x. Заметив, что

(arcsin x)' = (1 - x²)^-1/2,

разложим (arcsin x)' в ряд по формуле разложения степени бинома (см. 32.72)

(arcsin x)' = (1 - x²)^-1/2 = 1 + x²ⁿ.

Радиус сходимости получившегося ряда, как для всякого биномиального ряда, равен единице. Интегрируя получившийся ряд от нуля до x, |x| < 1, получим

arcsin x = = x +

Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора  Оглавление  Формула Стирлинга