Оптическая модель

Рис о1. Зависимость полного сечения взаимодействия нейтронов с различными ядрами от энергии нейтронов. Сплошные линии - эксперимент, штриховые линии - предсказания модели "черного ядра" [2]

    Одним из ярких свидетельств того, что ядро не совсем "черное", явилось поведение усредненных по энергии полных нейтронных сечений (сечение реакций + сечение рассеяния). В них наблюдались осцилляции, в то время как модель "черного ядра" предсказывала плавное падение сечения с ростом энергии  ~ 2π(R + )². Осцилляции свидетельствуют о том, что существует достаточно интенсивная прошедшая волна, которая интерферирует с падающей волной.
    По аналогии с прохождением света через частично прозрачную среду, в которой падающая волна испытывает как поглощение, так и рассеяние, плоская волна падающих частиц испытывает все те взаимодействия, которые испытывает плоская электромагнитная волна, проходящая через полупрозрачную среду. Такие взаимодействия рассматриваются в оптике. Частица, проходящая через ядро, испытывает "преломление", "отражение" и "поглощение". Прошедшая часть волны приобретает фазовый сдвиг δ, определяемый расстоянием r, которое волна прошла в ядре (r < 2R), и показателем преломления ядра n = k/K (k, K - волновые числа плоской волны вне и внутри ядра) интерферирует с падающей волной. В зависимости от величины δ интерференция приводит либо к увеличению величины сечения взаимодействия нейтронов с ядром, либо к уменьшению по сравнению с величиной сечения, предсказываемой в модели черного шара.
    Для описания усредненного поведения сечений  Фешбах, Портер и Вайскопф в 1954 году предложили  оптическую модель, которая получила свое название  из-за аналогии рассеяния частиц на ядре с прохождением света через полупрозрачную сферу. В оптической модели предполагается, что ядро может быть описано комплексной потенциальной ямой

U(r) = V(r) + iW(r),

где мнимая часть W(r) описывает поглощение частиц падающего пучка.

   Рассмотрим прямоугольный потенциал вида

Уравнение Шредингера для одномерного случая для частицы с приведенной массой m и энергией  имеет вид

.

(о.2)

Решением одномерного уравнения Шредингера (о.2) является функция

,

(о.3)

где

K = KR +  iKI = [2m(- V - iW)]1/2/.

(о.4)

Если W <<  - V,

KR[2m(- V)]1/2/ mvi/,	(о.5)
KIWKR/2(- V)W/vi,	(о.6)

где v_i - скорость частицы в ядре. Показатель преломления

,

(о.7)

где v_e - скорость частицы вне ядра.
Плотность вероятности найти частицу на расстоянии х от поверхности ядра

.

(о.8)

Введем среднюю длину пробега частицы в ядре

= 1/2KI = vi/2W.

(о.9)

Она соответствует уменьшению потока на 2W/ за единицу времени и ее можно интерпретировать как ослабление одночастичной волны за счет различных видов возбуждения ядерного вещества. 2W/ можно понимать как вероятность перехода из одночастичного состояния в состояния компаунд ядра. 2W - ширина области, в которой в результате остаточного взаимодействия одночастичное состояние растворяется среди различных, сильно связанных с одночастичным, состояний системы многих тел.
    Мнимая часть оптического потенциала пропорциональна усредненной вероятности перехода из одночастичного состояния _i в более сложное состояние составной системы (ядро-мишень + частица)_f  на плотность конечных состояний _f (E), т.е.

W ~ |<i|Vres|f >|2f (E).

(о.10)

Усреднение вероятности перехода |<_i|V^res|_f >|² проводится по начальным и конечным состояниям, попадающим в интервал E. Т.е. остаточное взаимодействие V^res рассматривается как возмущение.
     Получим оценки действительной и мнимой частей оптического потенциала из осцилляций полных нейтронных сечений.
    Если длина волны частицы << R. можно использовать квазиклассическое приближение. Представим траекторию частицы прямой. Частица, налетающая на ядро с прицельным параметром b выходит из него с относительной амплитудой (по отношению к падающей волне)

    Амплитуду рассеяния вперед получим интегрируя по параметру соударения b

,

(о.12)

где x 2(K - k)R.
    Амплитуду рассеяния вперед можно связать с полным сечением с помощью оптической теоремы

.

(о.13)

Когда фазовый сдвиг прошедшей волны относительно падающей волны равен 180⁰, сечение максимально, а когда фазы прошедшей и падающих волн совпадают, оно минимально. Т.к. параметр x - убывающая функция энергии и возрастающая функция радиуса, с ростом R соответствующие максимумы и минимумы сдвигаются в сторону более высоких энергий (см. рис. о1) ( в противоположность зависимости от энергии и радиуса для одночастичных резонансов в потенциальной яме).    Анализ соотношений (о.12) и (о.13) показывает, что последний максимум в сечении должен быть тогда, когда вещественная часть x примерно равна 4.1. Для Pb максимум наблюдается при энергии нейтронов ~90 МэВ. R = 1.4A^1/3 = 8.3 Ферми. Отсюда глубина действительной части потенциала V = -22 МэВ. По величине осцилляций сечения можно оценить длину свободного пробега и, следовательно, величину мнимой части потенциала W. Если бы потенциал был чисто вещественный (= ), то сечения в последнем максимуме и минимуме различались бы примерно в 2 раза. Для Pb разница ~15%. Это означает, что рассеянная волна ослабляется примерно в 5 раз.

Отсюда можно получить оценку
R/1.6 и W = -10 МэВ.  
   Такой анализ позволяет получить зависимость глубины потенциалов V и W от энергии нейтронов (см. рис. o.2). Действительная часть, начиная от значения типичного для оболочечной модели, убывает с ростом энергии. Мнимая часть потенциала (в данном случае предполагается чисто объемное поглощение) возрастает с ростом энергии, поскольку при этом уменьшается влияние принципа Паули и, кроме того, открывается большее число каналов реакции.

    Остановимся подробнее на виде оптического потенциала. V(r) можно представить как сумму взаимодействий падающей частицы с нуклонами ядра

(о.14)

где - плотность ядерной материи. Из-за короткодействующего характера ядерных сил радиальная зависимость потенциала V(r) должна быть близка к распределению плотности ядерной материи.

Функцию f(x_V) обычно называют функцией Вудса-Саксона, радиус R_V определяется растоянием на котором величина потенциала уменьшается вдвое V(R_V) = V₀/2, a_V - параметр диффузности - растояние на котором величина потенциала уменьшается от 0.9V₀ до 0.1V₀.
    Для заряженной частицы необходимо учитывать кулоновское отталкивание. Кулоновский потенциал обычно выбирают в виде потенциала однородно заряженной сферы

(о.18)

где z и Z - заряды падающей частицы и ядра мишени.
Так как рассеянные частицы, как правило, поляризованы, в оптический потенциал часто включают также член, зависящий от спина. Он берется пропорциональным , где - оператор углового момента, - спиновый оператор.

vsl = [Vsl + iWsl](b/r)[df(xs)/dr],

(о.19)

где V_sl и  W_sl - глубина действительной и мнимой компонент спин-орбитального потенциала; b - константа, имеющая размерность площади. Появление множителя df(x_s)/dr в (о.19) можно понять из следующих соображений. Так как симметрия требует, чтобы спин-орбитальные силы внутри ядра были равны нулю (во внутренней области единственное выделенное направление - направление импульса и невозможно образовать псевдовектор, который, будучи связан со спином, образовал бы скаляр, на поверхности же выделенное направление образует градиент плотности) и существены только на поверхности, в потенциале содержится множитель df(x_s)/dr.
    Мнимая часть оптического потенциала обычно состоит из двух частей - объемной и поверхностной. Поверхность ядра, особенно при небольших энергиях, играет основную роль в поглощении.

Рис. 9. Экспериментальные данные по упругому рассеянию протонов и результаты расчетов по оптической модели [3]

    Таким образом типичный оптический потенциал содержит 9 геометрических параметров (R_v, R_ws, R_wv, R_sl, R_c, a_v, a_ws, a_wv, a_sl ) и 5 энергетических (V₀, W_s, W_v, V_sl, W_sl). Значения этих параметров подбираются так, чтобы дифференциальные сечения упругого рассеяния и поляризации, расчитанные по оптической модели хорошо согласовывались с экспериментом. Так как оптический потенциал является усредненной характеристикой взаимодействия, то следует ожидать плавную зависимость параметров оптического потенциала  от характеристик ядер и энергии. Так параметры R_i ~ r_0iA^1/3, параметры диффузности a_i не должны зависеть от массового числа. Систематизация оптических параметров, полученных из экспериментов при различных энергиях и на разных ядрах, позволила получить феноменологические зависимости для параметров, получить наборы так называемых глобальных параметров.
    При работе с оптическими потенциалами возникает проблема неоднозначности параметров. Так оказывается, что удовлетворительное согласие с экспериментом можно получить при использовании различных наборов параметров. Так например, практически одинаковые результаты дают оптические потенциалы с V_0k = kV₀₁. Теоретические исследования показали, что для волновых функций, соответствующих разным V_0k, число полуволн в области действия потенциала различно, в то время как вне ядра они практически совпадают. Так как величина фаз рассеяния определяется поведением волновой функции на асимптотике, анализ экспериментов по рассеянию не может разрешить этот вид неоднозначности и в случае например нуклонов берут потенциал, который дает правильную величину одночастичных состояний, то есть при стремлении энергии к нулю переходит в потенциал модели оболочек.

    Успехи оптической модели в описании упругого рассеяния привели к пониманию механизма протекания прямых ядерных реакций, в принципе отличающегося от механизма протекания ядерных реакций через составное ядро. Малая величина мнимой части оптического потенциала, полученного из эксперимента (несколько МэВ) указывает на довольно большую длину свободного пробега нуклона в ядре. Таким образом, существует заметная вероятность того, что налетающий нуклон испытает одно взаимодействие с нуклоном ядра-мишени, после чего один из этих нуклонов покинет ядро. Первая модель для описания прямых механизмов в реакциях (d,p) была предложена в 1950 году С. Батлером. В дальнейшем были развиты более совершенные модели прямых ядерных реакций, из которых наибольшее распространение получил метод искаженных волн.