Волновая функция
Wave function
Волновая функция
(или вектор состояния) – комплексная функция, описывающая состояние квантовомеханической
системы. Её знание позволяет получить максимально полные сведения о системе,
принципиально достижимые в микромире. Так с её помощью можно рассчитать
все измеряемые физические характеристики системы, вероятность пребывания
её в определенном месте пространства и эволюцию во времени. Волновая функция
может быть найдена в результате решения волнового уравнения Шредингера.
Волновая функция ψ(x, y, z, t) ≡ ψ(x,t)
точечной бесструктурной частицы является комплексной функцией координат
этой частицы и времени. Простейшим примером такой функции является волновая
функция свободной частицы с импульсом
и полной энергией Е (плоская волна)
.
Волновая функция системы А частиц содержит координаты
всех частиц: ψ(1,2,...,A,t).
Квадрат модуля волновой функции отдельной частицы |ψ(,t)|2
= ψ*(,t)ψ(,t)
дает вероятность обнаружить частицу в момент времени t в точке пространства,
описываемой координатами
, а именно,
|ψ(,t)|2dv
≡ |ψ(x, y, z, t)|2dxdydz это
вероятность найти частицу в области пространства объемом dv = dxdydz вокруг
точки x, y, z. Аналогично, вероятность найти в момент времени t систему
А частиц с координатами
1,2,...,A
в элементе объема многомерного пространства дается величиной |ψ(1,2,...,A,t)|2dv1dv2...dvA.
Волновая функция полностью определяет все физические характеристики
квантовой системы. Так среднее наблюдаемое значение физической величины
F у системы дается выражением
,
где
- оператор этой величины и интегрирование проводится по всей области многомерного
пространства.
В качестве независимых переменных волновой функции вместо координат
частиц x, y, z могут быть выбраны их импульсы px, py,
pz или другие наборы физических величин. Этот выбор зависит от
представления (координатного, импульсного или другого).
Волновая функция ψ(,t)
частицы не учитывает ее внутренних характеристик и степеней свободы, т.
е. описывает ее движение как целого бесструктурного (точечного) объекта
по некой траектории (орбите) в пространстве. Этими внутренними характеристиками
частицы могут быть её спин, спиральность, изоспин (для сильновзаимодействующих
частиц), цвет (для кварков и глюонов) и некоторые другие. Внутренние характеристики
частицы задаются специальной волновой функцией её внутреннего состояния
φ. При этом полная волновая функция частицы Ψ может быть представлена в
виде произведения функции орбитального движения ψ и внутренней функции φ:
Ψ = φψ,
поскольку обычно внутренние характеристики частицы и её степени свободы,
описывающие орбитальное движение, не зависят друг от друга.
В качестве примера ограничимся случаем, когда единственной
внутренней характеристикой, учитываемой функцией
,
является спин частицы, причем этот спин равен 1/2. Частица с таким спином
может пребывать в одном из двух состояний − с проекцией спина на ось z,
равной +1/2 (спин вверх), и с проекцией спина на ось z, равной -1/2 (спин
вниз). Эту двойственность описывают спиновой функцией
взятой в виде
двухкомпонентного спинора:
Тогда волновая функция Ψ+1/2 = χ+1/2ψ
будет описывать движение частицы со спином 1/2, направленным вверх, по траектории,
определяемой функцией ψ , а волновая функция Ψ-1/2
= χ-1/2ψ будет описывать движение по той же траектории
этой же частицы, но со спином, направленным вниз.
В заключении отметим, что в квантовой механике возможны такие
состояния, которые нельзя описать с помощью волновой функции. Такие состояния
называют смешанными и их описывают в рамках более сложного подхода, использующего
понятие матрицы плотности. Состояния квантовой системы, описываемые волновой
функцией, называют чистыми.
|