На головную страницу 

Адроны
Альфа-распад
Альфа-частица
Аннигиляция
Антивещество
Антинейтрон
Антипротон
Античастицы
Атом
Атомная единица массы
Атомная электростанция
Барионное число
Барионы
Бета-распад
Бетатрон
Бета-частицы
Бозе – Эйнштейна статистика
Бозоны
Большой адронный коллайдер
Большой Взрыв
Боттом. Боттомоний
Брейта-Вигнера формула
Быстрота
Векторная доминантность
Великое объединение
Взаимодействие частиц
Вильсона камера
Виртуальные частицы
Водорода атом
Возбуждённые состояния ядер
Волновая функция
Волновое уравнение
Волны де Бройля
Встречные пучки
Гамильтониан
Гамма-излучение
Гамма-квант
Гамма-спектрометр
Гамма-спектроскопия
Гаусса распределение
Гейгера счётчик
Гигантский дипольный резонанс
Гиперядра
Глюоны
Годоскоп
Гравитационное взаимодействие
Дейтрон
Деление атомных ядер
Детекторы частиц
Дирака уравнение
Дифракция частиц
Доза излучения
Дозиметр
Доплера эффект
Единая теория поля
Зарядовое сопряжение
Зеркальные ядра
Избыток массы (дефект массы)
Изобары
Изомерия ядерная
Изоспин
Изоспиновый мультиплет
Изотопов разделение
Изотопы
Ионизирующее излучение
Искровая камера
Квантовая механика
Квантовая теория поля
Квантовые операторы
Квантовые числа
Квантовый переход
Квант света
Кварк-глюонная плазма
Кварки
Коллайдер
Комбинированная инверсия
Комптона эффект
Комптоновская длина волны
Конверсия внутренняя
Константы связи
Конфайнмент
Корпускулярно волновой дуализм
Космические лучи
Критическая масса
Лептоны
Линейные ускорители
Лоренца преобразования
Лоренца сила
Магические ядра
Магнитный дипольный момент ядра
Магнитный спектрометр
Максвелла уравнения
Масса частицы
Масс-спектрометр
Массовое число
Масштабная инвариантность
Мезоны
Мессбауэра эффект
Меченые атомы
Микротрон
Нейтрино
Нейтрон
Нейтронная звезда
Нейтронная физика
Неопределённостей соотношения
Нормы радиационной безопасности
Нуклеосинтез
Нуклид
Нуклон
Обращение времени
Орбитальный момент
Осциллятор
Отбора правила
Пар образование
Период полураспада
Планка постоянная
Планка формула
Позитрон
Поляризация
Поляризация вакуума
Потенциальная яма
Потенциальный барьер
Принцип Паули
Принцип суперпозиции
Промежуточные W-, Z-бозоны
Пропагатор
Пропорциональный счётчик
Пространственная инверсия
Пространственная четность
Протон
Пуассона распределение
Пузырьковая камера
Радиационный фон
Радиоактивность
Радиоактивные семейства
Радиометрия
Расходимости
Резерфорда опыт
Резонансы (резонансные частицы)
Реликтовое микроволновое излучение
Светимость ускорителя
Сечение эффективное
Сильное взаимодействие
Синтеза реакции
Синхротрон
Синхрофазотрон
Синхроциклотрон
Система единиц измерений
Слабое взаимодействие
Солнечные нейтрино
Сохранения законы
Спаривания эффект
Спин
Спин-орбитальное взаимодействие
Спиральность
Стандартная модель
Статистика
Странные частицы
Струи адронные
Субатомные частицы
Суперсимметрия
Сферическая система координат
Тёмная материя
Термоядерные реакции
Термоядерный реактор
Тормозное излучение
Трансурановые элементы
Трек
Туннельный эффект
Ускорители заряженных частиц
Фазотрон
Фейнмана диаграммы
Фермионы
Формфактор
Фотон
Фотоэффект
Фундаментальная длина
Хиггса бозон
Цвет
Цепные ядерные реакции
Цикл CNO
Циклические ускорители
Циклотрон
Чарм. Чармоний
Черенковский счётчик
Черенковсое излучение
Черные дыры
Шредингера уравнение
Электрический квадрупольный момент ядра
Электромагнитное взаимодействие
Электрон
Электрослабое взаимодействие
Элементарные частицы
Ядерная физика
Ядерная энергия
Ядерные модели
Ядерные реакции
Ядерный взрыв
Ядерный реактор
Ядра энергия связи
Ядро атомное
Ядерный магнитный резонанс (ЯМР)

На головную страницу

Рейтинг@Mail.ru

 

Сферическая система координат
Spherical Coordinate System

    Сферическая система координат широко используется при решении задач со сферически симметричным потенциалом

V = V(r).

Связь между переменными (x,y,z) прямоугольной и (r,θ,φ) сферической систем координат

x = rsinθcosφ,
y = rsinθsinφ,
z = rcosθ

показана на рис. Элементу объёма в прямоугольной системе координат dxdydz соответствует элемент объёма r2sinθdθdφdr в сферической системе координат.


Рис. Прямоугольная и сферическая системы координат.

    В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

(1)

Волновая функция ψ(r,θ,φ), являющаяся решением уравнения (1), имеет вид произведения радиальной и угловой функций

ψ(r,θ,φ) = Rnl(r)Ylm(θ,φ), (2)

где радиальная функция Rnl(r) и угловая функция Ylm(θ,φ) удовлетворяют уравнениям

op_L2Ylm(θ,φ) = ћ2l(l + 1)Ylm(θ,φ), (3а)
(3б)

и

(4)

    Уравнение (3а) определяет возможные собственные значения и собственные функции Ylm(θ,φ) оператора квадрата момента op_L2. Уравнение (4) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции Rnl(r).
    Решения уравнения (1) существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число). Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l. Число n может быть только целым, сколь угодно большим: n = 1, 2, …, ∞. Число l может принимать значения l = 0, 1, 2, …, ∞.

Собственные значения L2 и Lz являются решением операторных уравнений

op_L2Ylm(θ,φ) = L2Ylm(θ,φ) и op_LzYlm(θ,φ) = LzYlm(θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

L2 = ћ2l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
Lz = ћm, где m = 0, ±1, ±2, ±3,…, ±l.

Сферические функции (их называют также сферическими гармониками) Ylm(θ,φ) являются собственными функциями операторов op_L2 и op_Lz, т. е. описывают состояния с определенными l и m, а значит и определенными значениями орбитального момента и его проекции на ось z. Сферические функции Ylm(θ,φ) описываются формулой

 ,

где - функция Лежандра.

Свойства сферических функций Ylm(θ,φ):

Симметрия:

Ylm(π−θ,φ+π) = (-1)lYlm(θ,φ),
Y*lm(θ,φ) = (-1)mYl,-m(θ,φ).

Ортогональность:

В качестве примера ниже приведены сферические функции Ylm(θ,φ) для l = 0, 1, 2: